必背1

等价无穷小

$x\to 0$ 时

$$\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x,\arctan x\sim x,\ln \left(1+x\right)\sim x,{\mathrm{e}}^x-1\sim x,$$$$a^x-1\sim x\ln a,1-\cos x\sim {\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2,{(1+x)}^a-1\sim ax.}$$$$\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\sim x$$$$1-{(\cos x)}^a\sim {\displaystyle \frac{1}{2}a{x}^2,a\ne 0}$$

泰勒公式

定义

设 $f\left(x\right)$ 在点 $x=0$ 处 $n$ 阶可导,则存在 $x=0$ 的一个邻域,对于该邻域内的任一点 $x$ ,有

$$f\left(x\right)=f\left(0\right)+f^{\prime }\left(0\right)x+{\displaystyle \frac{f^{\prime \prime }\left(0\right)}{2!}{x}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}{x}^n+o\left(x^n\right).}}$$

一些重要的泰勒展开

三角函数

$$\begin{array}{rl}\sin x& =x-\frac{x^3}{6}+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in (-1,1)\\ \cos x& =1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},x\in (-1,1)\\ \\ \tan x& =x+\frac{x^3}{3}+...=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2^{2n}-1)\cdot 2^{2n}\cdot B_n}{(2n)!}\cdot x^{2n-1},x\in (-1,1)\end{array}$$

反三角函数

$$\begin{gathered} \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(2n+1)(n!{)}^2}\cdot x^{2n+1},x\in (-1,1) \\ \arccos x=\frac{\pi }{2}-x-\frac{x^3}{6}+...=\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(2n+1)(n!{)}^2}\cdot x^{2n+1},x\in (-1,1) \\ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1},x\in [-1,1] \end{gathered}$$

其他

$$\begin{gathered} \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n,x\in (-1,1) \\ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n,x\in (-1,1) \\ {e}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!},x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }) \\ \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n},x\in (-1,1] \\ (1+x{)}^k=1+kx+\frac{k(k-1)}{2}{x}^2+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\prod _{i=k-n+1}^{k}i}{n!}{x}^n,x\in (-1,1) \end{gathered}$$

等价无穷小代换式

$$\arcsin x-x\sim {\displaystyle \frac{1}{6}{x}^3\left(x\to 0\right),\tan x-x\sim {\displaystyle \frac{1}{3}{x}^3\left(x\to 0\right),x-\arctan x\sim {\displaystyle \frac{x^3}{3}\left(x\to 0\right)}}}$$

等,并可将这些公式广义化,如第一个公式广义化为狗 $-\sin$ 狗 $\sim {\displaystyle \frac{1}{6}}$ (狗) (狗 $\to 0$ ),其余类似.

数集符号

自然数集: N
正整数集：N+
整数集：Z
实数集：R
有理数集：Q
复数集：C
虚数集：I
空集：Ø

其他

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{a}{x}})}^{bx+d}={\mathrm{e}}^{ab}$$