函数的连续与间断

讨论间断点只看 $\{\begin{array}{l}\text{ 无定义点 (必间断) }\\ \text{ 分段点 (未必间断) }\end{array}$

1. 连续点的定义

设函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义,且有 $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$ ,则称函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 处连续.

【注】(1) 当需要讨论左、右极限时, 用以下结论:

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)\iff f\left(x\right)\text{在点}{x}_0\text{处连续.}$$

(2) 连续性运算法则.

① (连续性的四则运算法则) 设 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 都在点 $x=x_0$ 处连续,则 $f\left(x\right)\pm g\left(x\right)$ 与 $f\left(x\right)g\left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处连续,当 $g\left(x_0\right)\ne 0$ 时, $f\left(x\right)/g\left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处也连续.

② (复合函数的连续性) 设 $u=\phi \left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处连续, $y=f\left(u\right)$ 在点 $u=u_0$ 处连续,且 $u_0=\phi \left(x_0\right)$ ,则 $f\left[\phi \left(x\right)\right]$ 在点 $x=x_0$ 处连续.

③ (反函数的连续性) 设 $y=f\left(x\right)$ 在区间 $I_x$ 上单调且连续,则反函数 $x=\phi \left(y\right)$ 在对应的区间 $I_y=\left\{y\mid y=f\left(x\right),x\in I_x\right\}$ 上连续且有相同的单调性.

(3) 设 $f\left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处连续,且 $f\left(x_0\right)>0$ (或 $f\left(x_0\right)<0$ ),则存在 $\delta >0$ ,使得当 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 时 $f\left(x\right)>0$ (或 $f\left(x\right)<0$ ).

2. 间断点的定义与分类

以下设函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义（这是讨论间断点的前提）.

(1) 可去间断点

若 $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A\ne f\left(x_0\right)(f\left(x_0\right)$ 甚至可以无定义 $)$ ,则 $x=x_0$ 称为 可去间断点 .

【注】只要修改或者补充 $f\left(x_0\right)$ ,使得 $f\left(x_0\right)=A=\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ ,就会使得函数在点 $x_0$ 处连续,于是, 这个点叫作可去间断点, 也叫作可补间断点.

(2) 跳跃间断点

若 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)$ 与 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)$ 都存在,但 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)$ ,则 $x=x_0$ 称为 跳跃间断点 .

可去间断点和跳跃间断点统称为 第一类间断点 .

【注】按此定义,跳跃间断点和 $f\left(x_0\right)$ 的值无关.

(3) 无穷间断点

若 $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }$ 或 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }$ 或 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }$ ,则 $x=x_0$ 称为无穷间断点,如点 $x=0$ 为函数 $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$ 的无穷间断点.

(4) 振荡间断点

若 $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ 振荡不存在,则 $x=x_0$ 称为振荡间断点,如函数 $y=\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$ 在点 $x=0$ 处没有定义,且当 $x\to 0$ 时,函数值在 -1 与 1 这两个数之间交替振荡取值,极限不存在,故点 $x=0$ 为函数 $y=\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$ 的振荡间断点.

无穷间断点和振荡间断点都属于 第二类间断点 .

【例 1.36】 已知 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{(\cos x)}^{x^{-2}},& x\ne 0,\\ a,& x=0\end{array}$ 在 $x=0$ 处连续,则 $a=$

解 应填 ${\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$ .

$\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{lim}{(\cos x)}^{x^{-2}}\stackrel{\text{“}{1}^{\mathrm{\infty }}\text{”}}{=}{\mathrm{e}}^A$ ,式中 $A=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos x-1}{x^2}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$ ,故 $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$ .

又 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处连续,所以 $a=\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$ .

【例 1.37】 函数 $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x-1}}\ln \left|1+x\right|}{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left(x-2\right)}}$ 的第二类间断点的个数为 ( ).

(A) 1   (B) 2   (C) 3   (D) 4

解 应选 (C).

本题考查初等函数的连续性、间断点、间断点分类等基本概念, 考查利用等价无穷小替换及洛必达法则求极限的方法, 是一道考查基本概念和简单运算的题目.

$f\left(x\right)$ 的定义域为 $\{x\mid x\in \left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right),x\ne -1,x\ne 0,x\ne 1,x\ne 2\}$ ,而初等函数在定义域内是连续的,

所以该函数的所有间断点是 $-1,0,1,2$ . 由于

$$\underset{x\to -1}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{1}{x-1}}}\ln \left|1+x\right|}{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left(x-2\right)}=\mathrm{\infty },}$$$$\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{1}{x-1}}}\ln \left|1+x\right|}{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left(x-2\right)}=\mathrm{\infty },}$$

由例 1.15 知,

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty },$$$$\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{1}{x-1}}}\ln \left|1+x\right|}{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left(x-2\right)}=-{\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{e}}\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\ln \left(1+x\right)}{{\mathrm{e}}^x-1}=-{\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{e}},}}}}$$

因此 $x=0$ 是函数的可去间断点,而其余 3 个点均为函数的第二类间断点,故选 (C).

【例 1.38】 设函数 $f\left(x\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+nx\left(1-x\right){\sin }^2\pi x}{1+n{\sin }^2\pi x}}$ ,则 $f\left(x\right)\left(\right)$ .

(A) 处处连续
(B) 只有第一类间断点
(C) 只有第二类间断点
(D) 既有第一类间断点, 又有第二类间断点

解 应选 (B).

由例 1.26 可知,

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ,\\ x\left(1-x\right),& x\text{ 取其他值. }\end{array}$$

可见 $f\left(x\right)$ 有第一类间断点,没有第二类间断点,故选 (B).